4. Considerar (como sabemos agora!) que para satélites da Terra há também uma relação R³/T² = K_t. Portanto, para qualquer objeto no campo gravitacional da Terra, a fôrça que atua deve ser: F = 4²K_t m/R².

5. Na superfície da Terra, F_superfície = mg, logo, g = 4²K_t /R² _superfície; conhecendo g e R_superfície, K_t pode ser determinado.

6. Uma vez estabelecido o valor para K_t e conhecendo o raio, R_L da órbita da Lua em tôrno da Terra, sua aceleração, a_L (ou seu período, T_L) podem ser calculados e comparados aos valôres observados. Verifica-se uma boa concordância dentro dos erros inerentes à observação.

7. Resta estabelecer uma relação entre K_s, K_t e a constante similar que possa ser aplicada a outras fontes de atração gravitacional. A simetria sugere tentar K_s = Gm_s, K_t = Gm_t, etc, onde G é a constante universal que descreve a intensidade da interação gravitacional. Isto fornece a fôrça gravitacional, F = Gm_tm₂/R², uma lei que tem sido até agora verificada por uma grande quantidade de observações.

FILMES. "Universal Gravitation" refere-se diretamente às principais idéias que conduzem ao conceito da gravitação universal. "Elliptic Orbits" apresenta uma interessante demonstração de como a lei do inverso do quadrado da fôrça pode ser deduzida de uma órbita elíptica.

COMENTÁRIOS. Talvez seja interessante para você ter em mente, de modo claro, o papel representado por cada lei de Kepler. Seus significados podem ser descritos como se seguem:

1) A observação de que áreas iguais são varridas em tempos iguais por uma linha radial, que liga o planêta a um ponto no espaço, pode ser interpretada como uma prova de que a fôrça atuante é uma "fôrça central" - isto é, uma fôrça cuja origem é um ponto fixo no espaço, e cuja ação está dirigida para êsse ponto ou afastando-se dêle. (Observe que isto é igualmente verdadeiro para o movimento planetário sob a lei do inverso do quadrado, e para o movimlento do pêndulo da Experiência III-7, onde o movimento é harmônico simples e a fôrça é proporcional à primeira potência do deslocamento).

2) A análise da observação de que qualquer órbita simples é elíptica, com o centro de fôrça em um dos focos da elipse, fornece a prova de que a fôrça atuante depende do inverso do quadrado da distância. (Observe que, na Experiência III-7, o centro de fôrça é o centro da elipse, não um de seus focos. Isto está diretamente de acôrdo com a primeira potência e não com a lei do inverso do quadrado da fôrça). Uma demonstração de que a lei do inverso do quadrado da fôrça obedece a uma órbita elíptica é feita no filme "Elliptic Orbits".

Deve-se observar que, para a órbita circular, o centro da órbita e os focos da elipse degenerada coincidem. Entretanto, nenhuma conclusão pode ser tirada sôbre a lei da fôrça, neste caso. Uma outra maneira de observar isto, é verificar que a órbita circular mostra somente uma distância radial. Portanto, não seria possível esperar informações sôbre a dependência entre a distância e a fôrça em questão.

3) A terceira observação de Kepler sintetiza a sua terceira lei: para cada planêta, a razão R³ /T² tem o mesmo valor. Esta observação pode ser empregada de vários modos, dependendo da estrutura lógica que está sendo desenvolvida.

No nível colegial, é impossível analisar as órbitas elípticas. Contudo, o texto assinala o fato de que a elipticidade é frequentemente pequena e, por esta razão, aproxima cada órbita de um círculo, com raio igual ao raio médio da verdadeira elipse. Com esta aproximação, é impossível, a partir da órbita de um único planêta, deduzir algo sôbre a dependência da distância à fôrça atuante. Todavia, sob a suposição de que todos os planêtas são atraídos para o Sol, por fôrças que são diretamente proporcionais às suas massas (a equivalência entre a massa gravitacional e a inercial), a lei do inverso do quadrado pode ser deduzida a partir da constância de R³ /T² . Neste desenvolvimento, outra evidência é aceita, como prova da equivalência das massas inercial e gravitacional. Esta equivalência serve, com efeito, para normalizar o comportamento de vários planêtas, dentro de um único campo de fôrça. Logo, R³ /T² = K identifica a dependência da distância dês te campo de fôrça.

Por outro lado, se as órbitas elípticas são acuradamente observadas e analisadas, qualquer uma delas é suficiente para fornecer a prova da lei do inverso do quadrado, dentro da escala de distância exemplificada pela órbita. Se esta evidência fôr aceita na sua generalidade, como prova da lei do inverso do quadrado, R³ /T² = K serve como evidência de que a razão entre a massa inercial e a gravitacional é a mesma para todos os planêtas.

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