A fôrça é proporcional à massa do planêta e inversamente proporcional ao quadrado de sua distância ao Sol (Fig. 22-14).

Finalmente, Newton conseguiu mostrar que qualquer corpo que se move sob a ação desta fôrça deve descrever uma órbita elítica, estando o Sol num dos focos, e que a linha que liga o o Sol ao corpo varre áreas iguais em tempos iguais. Ademais, o próprio método pelo qual encontramos a fôrça, nos mostra que a 3.ª lei de Kepler é consequência daquela fôrça. Todo o sistema do movimento planetário descrito pela lei de Kepler segue-se desta lei de fôrça e da lei do movimento de Newton (*).

22-14 - A fôrça gravitacional exercida pelo Sol sobre um planeta é proporcional à massa deste e livremente proporcional ao quadrado de sua distância ao Sol

22 - 8. Gravitação Universal.

Note que o fator 42K que figura na lei de fôrça entre o Sol e um planêta entra na equação a partir da lei dos períodos. Aplica-se a qualquer planêta, de qualquer massa e em qualquer órbita em tôrno do Sol. Portanto, 42K depende somente das propriedades do Sol; mede a intensidade do Sol como fonte da fôrça de atração.

A fôrça de atração entre o Sol e uma massa m é

F =

onde 42Ks refere-se ao Sol e R é a distância do Sol à massa m. Talvez a fôrça entre a Terra e uma massa m seja

F =

onde 42KT é a intensidade da atração gravitacional da Terra e R é agora a distância entre a Terra e a massa m. Com tais idéias, Newton retornou ao problema do movimento da Lua em tôrno da Terra. Medindo R a partir do
centro da Terra, o valor do campo gravitacional g (a aceleração de um corpo que caia na superfície da Terra) é, pois,

g = =

onde RT é o raio da Terra (distância entre o centro da Terra e a massa m em sua superfície). Ademais, o valor do campo gravitacional na posição em que está a Lua, que é a aceleração da Lua para a Terra, será

aL =

sendo RL a distância entre os centros da Lua e da Terra. Dividindo essa equação pela anterior obtem-se

= ou aL = g.

Como Newton sabia que RT/RL é cêrca de 1/60 e g é 9,8 m/s2, êle encontrou aL = 2,7 X 10-3 m/s2. Este é quase o mesmo valor de aL que obtivera a partir do raio e do período da Lua (Seção 22-7).

Pois bem, Newton havia calculado a aceleração da Lua por dois processos diferentes: a partir de RL e do período do movimento da Lua, sem qualquer referência à lei de fôrça do inverso do quadrado, e a partir do valor de g na superfície da Terra, estando essa lei incluída na razão (RT/RL)2. A concordância aproximada

(*) Huygens e Hooke usaram também a 3ª lei de Kepler e a lei do movimento de Newton para inferir que F é proporcional a 1/R2, mas não mostraram que as outras leis de Kepler também podiam ser obtidas. Newton forneceu a lei do movimento, encontrou a lei de fôrça e também mostrou que essas duas leis conjuntamente resultavam na descrição kepleriana dos movimentos planetários.

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